a,n为整数,且a 整除2n^2 求证n^2+a不是平方数

令a=2kn^2;（k为自然数）

根据以上的条件n^2+a=(4k^2+1)n^2;
因此，就是求证 4k^2+1是否为存在整数平方根；

4k^2的平方根为2k , 4k^2 < 4k^2+1
2k的下一个数平方如下：
（2k+1）^2 = 4k^2+4k+1;
4k^2+4k+1 > 4k^2+1；

所以(2k)^2<n^2+a<(2k+1)^2；
即4k^2+1 一定介于某两个相邻整数的平方z值的中间，当然命题成立了。

补充：按你的补充，求证是一样的：
令： 2n^2=ka;
所以： n^2 + a = ( 2/k + 1 ) * n^2
也就是说 ( 2/k + 1 ) 应该也可以被开方。

因为( 2/k + 1 ) = (2k + k^2 )/ k^2;
所以 k^2 + 2k 应该也可以被开方为整数。（分数就不用说了）

k^2 + 2k = （k+1)^2 -1

因为k^2 < （k+1)^2 -1 < （k+1)^2

可见（k+1)^2 -1 介于两个相邻整数的平方值 中间。所以k^2 + 2k 不可被开方。

因此命题成立。